Kuvittele kaksi täysin erilaista kuvaa. Toisessa on raivoisa tanssi elementaarisia hiukkasia, jotka törmäävät toisiinsa hiukkaskiihdyttimen sisällä lähes valon nopeudella. Se on kvanttitodennäköisyyksien, ohikiitävien vuorovaikutusten ja energioiden maailma, joka on tiivistetty käsittämättömän pieniksi pisteiksi.
Sisällysluettelo
Toisessa kuvassa on majesteettinen, lähes liikkumaton varhaisen maailmankaikkeuden kangas. Valtavat galaksien rykelmät, jotka muodostuvat hitaasti alkukosmoksesta, ja heikko kaiku alkuräjähdyksestä, joka saavuttaa meidät reliktisäteilyn muodossa.
Nämä kaksi maailmaa – mikrokosmos ja makrokosmos – näyttävät täysin erilaisilta. Niitä kuvataan eri fysiikan aloilla, niitä tutkitaan eri menetelmillä ja eri mittakaavoissa. Mutta entä jos sanoisin, että niiden perustana voi olla sama perusperiaate? Entä jos on olemassa yksi kieli, jolla voidaan kuvata sekä subatomista kaaosta että kosmista harmoniaa?
Kuulostaa tieteiskirjallisuudelta, eikö vain? Kuitenkin matemaatikoiden Claudia Favola ja Anna-Laura Zettelbergerin tuore tutkimus valaisee yllättävää ajatusta: geometria voi olla tällainen universaali kieli. Ei vain koulun geometria kolmioineen ja ympyröineen, vaan elegantti ja voimakas matematiikan ala, joka pystyy muuttamaan monimutkaisimmat fysikaaliset prosessit kauniiksi geometrisiksi kuvioiksi.
Kahden fyysikon ongelma ja hankalat ”reseptit”
Jotta tämän idean vallankumouksellisuus voidaan ymmärtää, on ensin ymmärrettävä nykyisen tilanteen monimutkaisuus. Fyysikot ovat käytännön ihmisiä. He ovat vuosikymmenien ajan käyttäneet menestyksekkäästi Feynmanin kaavioita kuvaamaan hiukkasten vuorovaikutusta. Jokainen tällainen kaavio on pohjimmiltaan vaiheittainen ”resepti” siitä, miten törmäys voi tapahtua: hiukkanen lentää, se lähettää toisen hiukkasen, ne vaihtavat energiaa ja hajoavat.
Yhdistämällä kaikki mahdolliset ”reseptit” voidaan laskea uskomattoman tarkasti tietyn lopputuloksen todennäköisyys. Menetelmä toimii loistavasti, mutta sillä on yksi puute: vuorovaikutuksen monimutkaisuuden kasvaessa tällaisten kaavioiden-reseptien määrä kasvaa räjähdysmäisesti. Laskelmat muuttuvat hirvittävän monimutkaisiksi ja muuttuvat eräänlaiseksi ”kirjanpidoksi” loputtomista integraaleista.
Toisessa ääripäässä, kosmologiassa, tutkijat kohtaavat toisen ongelman. Katsomalla ”lapsen valokuvaa” maailmankaikkeudesta – reliktisäteilyn karttaa – he yrittävät palauttaa pelisäännöt, joiden mukaan se kehittyi ensimmäisinä hetkinä Suuren alkuräjähdyksen jälkeen. Se on kuin yrittäisi ymmärtää shakin sääntöjä, kun kädessä on vain kuva lopullisesta asennosta.
Ja tässä alkaa mielenkiintoisin osa. Teoreettiset fyysikot, kuten Nima Arkani-Hamed ja Jaroslav Trnka, esittivät kysymyksen: entä jos prosessin jokaisen vaiheen laskemisen sijaan voisi jotenkin nähdä lopputuloksen heti?
Geometria reseptin sijaan: tutustu amplitudikiteeseen
Heidän vastauksensa oli hämmästyttävän kaunis. He olettivat, että kaikki monimutkaiset hiukkasten vuorovaikutukset voidaan esittää yhtenä geometrisena objektina. Kuvittele moniulotteinen kide tai kummallisen muotoinen jalokivi. Tämän objektin, amplitudedriksi nimetyn, tilavuus osoittautui täsmälleen samaksi kuin se todennäköisyys, jonka fyysikot olivat niin vaivalloisesti laskeneet satojen Feynmanin kaavioiden avulla.
Koko hiukkasten vuorovaikutuksen sekava historia, kaikki niiden virtuaaliset reitit ja energianvaihto osoittautuivat ”koodatuiksi” tämän kuvion geometriaan. Sen sijaan, että seuraisit pitkää reseptiä, mittaat vain valmiiden ”ruokalajin” tilavuuden. Se oli valtava läpimurto, joka osoitti, että näennäisen kaaoksen takana piilee hämmästyttävä järjestys.
Tämä uusi alue sai nimekseen positiivinen geometria. ”Positiivinen” ei tässä tarkoita ”optimistista”, vaan matemaattista merkitystä, joka liittyy tiettyihin avaruuden ominaisuuksiin. Se on muodostanut sillan abstraktin algebraisen geometrian – tieteen, joka kuvaa muotoja yhtälöiden avulla – ja käytännön hiukkasfysiikan välille.Kaksisolmuinen ketjukaavio (vasemmalla) ja siihen liittyvä kosmologinen politoppi (oikealla).
Kosminen kaiku kristallissa
Mutta kaikkein jännittävin löytö oli vielä edessä. Kävi ilmi, että tämä geometrinen lähestymistapa ei toimi vain mikromaailmassa. Kun tutkijat sovelsivat samanlaisia työkaluja varhaisen maailmankaikkeuden dataan, he löysivät jotain vastaavaa.
Monimutkaiset korrelaatiot – eli yhteydet reliktisäteilyn kartan pisteiden välillä – jotka viittaavat prosesseihin, jotka tapahtuivat ensimmäisten sekunnin murto-osien aikana kosmoksen olemassaolon aikana, voidaan myös kuvata geometrisilla kuvioilla. Nämä objektit, joita kutsutaan kosmologisiksi polytopeiksi, toimivat kosmisen amplitudikiteen analogina. Niiden reunat ja huiput koodaavat perustavanlaatuisia lakeja, jotka ohjasivat maailman syntyä.
Tuloksena on uskomaton kuva: hiukkasien hurja tanssi kiihdyttimessä ja universumin majesteettinen evoluutio noudattavat samaa syvällistä logiikkaa – geometrian logiikkaa. Tämä ei ole enää vain kätevä matemaattinen temppu. Se on vihje siitä, että todellisuuden kudos kaikilla tasoillaan voi olla geometrinen.
Graafisen polynomin ΨG todellisten nollien joukko, jossa G on esimerkissä 1 (ks. alkuperäinen tutkimus) esitetty massaton ”laskuvarjo” -diagrammi, jonka parametrit ovat (p₁ + p₂)² = 25, p₃² = 49, p₄² = 9.
Mitä ”kotelon alla” piilee?
Tietenkin näiden ideoiden takana oleva matemaattinen koneisto on erittäin monimutkainen. Se yhdistää algebran geometrian, kombinatoriikan (yhdistelmien ja rakenteiden tieteen) ja erittäin monimutkaisen algebran analyysin D-moduuleineen ja holonomisilla funktioineen. Yrittää selittää niitä sormilla on sama kuin yrittää kuvata sinfoniaa luettelemalla nuotteja.
Mutta ydin on yksinkertainen: nämä työkalut antavat matemaatikoille mahdollisuuden ottaa Feynmanin laskelmissa esiintyvät uskomattoman monimutkaiset integraalit ja nähdä niiden takana yhteisen, elegantin rakenteen. He ikään kuin laittavat erityiset lasit, joiden läpi sekava yhtälöiden vyyhti muuttuu selkeäksi ja ymmärrettäväksi geometriseksi muodoksi. Juuri tämä kyky ”nähdä muoto” mahdollistaa odottamattomien yhteyksien löytämisen näennäisesti toisistaan riippumattomien fysiikan alojen välillä.
Kieli, joka on vielä opittava
Kuten Claudia Favola ja Anna-Laura Zettelberger korostavat, positiivinen geometria on hyvin nuori ala. Monet sen osa-alueet ovat vielä kehitteillä. Se ei ole valmis vastaus, vaan pikemminkin kutsu vuoropuheluun fyysikoille ja matemaatikoille ympäri maailmaa.
Mutta sen potentiaali on valtava. Se ei vain yksinkertaista laskelmia. Se muuttaa itse tapaa ajatella fyysistä maailmaa. Se tarjoaa meille mahdollisuuden tarkastella maailmankaikkeutta ei joukkoina hiukkasia ja voimia, vaan valtavana, ajassa avautuvana geometrisena rakenteena.
Ehkä jonain päivänä voimme todella kuvata kaiken – kvarkista kvasariin – yhdellä elegantilla muotojen ja tilojen kielellä. Ja se päivä ei ole vain tieteen voitto, vaan todiste siitä, että maailmankaikkeus, kaikessa monimutkaisuudessaan, on pohjimmiltaan hämmästyttävän kaunis ja yksinkertainen.
