Kansainvälinen tutkijaryhmä on osoittanut, että Fibonaccin lukujono voi ohjata valon topologista siirtymistä kvasijaksoisissa materiaaleissa rikkoen tiukan jaksollisuuden säännön.
Sisällysluettelo
Fibonaccin lukujono esiintyy etanoiden kierteissä, monien kukkien terälehtien järjestyksessä ja joidenkin galaksien rakenteessa. Sen toistuva esiintyminen luonnonilmiöissä on tehnyt tästä matemaattisesta lukujonosta harmonian symbolin. Kansainvälinen tutkijaryhmä on löytänyt sille uuden sovelluksen: valon hallittu ja luotettava siirto erityisvalmisteisten materiaalien kautta .
eLight-lehdessä julkaistussa tutkimuksessa fyysikot, joita johti Fanwei Ye Shanghain Jiaotongin yliopistosta, sekä kollegat Portugalista ja Venäjältä osoittivat kokeellisesti, että valoa voidaan hallita ”pumpkaamalla” Fibonaccin lukujonon sääntöjen mukaisesti. Työ perustuu fysiikan käsitteeseen, joka tunnetaan nimellä topologinen pumppaus ja joka hyödyntää järjestelmän globaaleja ominaisuuksia energian tai hiukkasten tarkkaan ja häiriöille kestävään siirtämiseen. Uutuus piilee siinä, että pumppaus ei tapahtunut jaksottaisessa ympäristössä, kuten tähän asti, vaan kvasiperiodisessa ympäristössä, mikä rikkoo perustavanlaatuisen vaatimuksen.
Nobel-palkinnosta uuteen optiseen paradigmaan
Topologinen pumppaus ehdotettiin vuonna 1983 Nobel-palkinnon saaja David J. Thouless selittämään elektronien hallittua liikettä jaksottaisessa, ajallisesti moduloituneessa potentiaalissa. Tämä mekanismi on ominaista riippuvuudestaan topologisesta invarianssista – Chernin luvusta – ja kestävyydestään paikallisia ympäristön vikoja vastaan. Artikkelin mukaan tämä ilmiö on ”herkkä paikallisille ympäristön vioille” ja sillä on sovelluksia eri aloilla optiikasta akustiikkaan.
Tähän asti tutkimukset ovat keskittyneet järjestelmiin, joissa on tiukasti jaksollinen ajallinen modulaatio, joka takaa järjestelmän tilan toistumisen tietyn aikavälin kuluttua. Uusi työ esittää kunnianhimoisen kysymyksen: onko topologista pumppausta mahdollista ylläpitää, jos tämä ihanteellinen jaksollisuus häiriintyy? Ryhmä tutki kvasiperiodista konfiguraatiota moduloimalla järjestelmää kahdella taajuudella, joiden suhde on irrationaaliluku . Tässä tapauksessa he valitsivat kultaisen leikkauksen , joka on läheisesti yhteydessä Fibonaccin lukujonoon.
Kuinka Fibonacci liittyy valon liikkeeseen
Kirjoittajat huomauttavat, että mikä tahansa irrationaaliluku voidaan approksimoida kokonaislukujen muodostamilla murtolukuilla. Kultaisen leikkauksen tapauksessa nämä murtoluvut saadaan suoraan Fibonaccin lukujonosta, jossa jokainen luku on kahden edellisen summa. Täten kahden modulaatiotaajuuden suhde voidaan asteittain approksimoida käyttämällä suhteita kuten 1/2, 2/3, 3/5, 5/8 ja niin edelleen.
Heidän kokeessaan tämä johti sarjaan ”periodisia approksimaatioita”, jotka jäljittelevät todellisen kvasiperiodisen järjestelmän käyttäytymistä. Nämä approksimaatiot antoivat heille mahdollisuuden soveltaa perinteisen topologisen pumppauksen teoreettista välineistöä tapaukseen, joka periaatteessa ei noudata sen sääntöjä. Keskeinen löytö oli, että Chernan luvut, jotka laskettiin jokaiselle approksimaatiolle, seurasivat tarkasti Fibonaccin lukujonoa: 1, 2, 3, 5, 8, 13… Kuten he huomauttavat, ” Chernan luku peräkkäisille approksimaatioille on sama kuin Fibonaccin luvut ”, mikä määrittää suoraan valon etenemisnopeuden.
Optinen laitteisto teorian testaamiseksi
Ryhmä työskenteli 5x5x20 mm³ kokoisella fotorefraktiivisella bariumstroniumniobiumkristallilla (SBN). He käyttivät optisen induktion menetelmää, jossa normaalisti polarisoituneet lasersäteet interferoivat ja muodostavat kristallin sisään taittuvan kuvion. Tämä kuva toimii ”hilan” tavoin, joka ohjaa testisäteen, tässä tapauksessa erittäin polarisoituneen, pituusakselia pitkin.
Jokaiselle periodiselle approksimaatiolle tarvittiin hieman erilainen malli, jossa pituusjaksot olivat suhteutettu Fibonaccin lukusuhteiden mukaisesti. Käytännössä kiteen pituus salli vain kolmen ensimmäisen approksimaation käytön, joiden puolivaiheiden pituudet olivat 8, 12 ja 19 mm. Kaikissa tapauksissa ryhmä mittasi säteen massakeskiön sivuttaissiirtymän puolen pumppausjakson jälkeen.
Tulokset: Fibonaccin jälki siirtymässä
Kokeelliset mittaukset osoittivat, että säteen siirtymä vastasi teoreettisia ennusteita jokaiselle approksimaatiolle Fibonaccin säännön mukaisesti. Jopa huomattavan muutoksen jälkeen hilan amplitudissa jännitteen muutoksen seurauksena pumppausnopeus pysyi käytännössä vakiona. Tämä vahvistaa topologisen stabiilisuuden säilymisen kvasiperiodisessa tilassa.
Artikkelissa selitetään, että ”pumpunopeus määräytyy kaistojen globaalien topologisten ominaisuuksien perusteella”, eikä paikallisten epätäydellisyyksien tai epäjärjestyksen perusteella. Lisäksi numeerinen mallinnus toisti havaitun käyttäytymisen, mukaan lukien keskimääräisen nopeuden pyrkimys kultaisen leikkauksen määrittämään raja-arvoon.
Mitä tämä tarkoittaa fysiikalle ja tekniikalle
Tässä työssä on osoitettu, että topologisen pumppauksen saavuttamiseksi ei tarvita tiukkaa ajallista jaksollisuutta, mikä laajentaa huomattavasti fotonijärjestelmien ja muiden aaltoväliaineiden suunnittelumahdollisuuksia. Strategia, jossa käytetään jaksollisia approksimaatioita kvasiperiodisen järjestelmän kuvaamiseen, avaa myös tien irrationaalisten lukujen, jotka eroavat kultaisesta luvusta, tutkimiseen.
Tekijät olettavat, että tätä konseptia voidaan soveltaa esimerkiksi ultra-kylmissä atomeissa, plasmonikassa tai akustisissa järjestelmissä, joissa on mahdollista toteuttaa kvasiperiodisia modulaatioita. He myös huomauttavat, että käytetty kokeellinen alusta mahdollistaa topologian, symmetrian ja epälineaarisuuden vuorovaikutuksen tutkimisen, mikä voi johtaa uusien aineen tilojen löytämiseen ja kvanttilaitteiden kehittämiseen, joilla on ainutlaatuisia kuljetusominaisuuksia.
Ongelmat ja tulevaisuuden suuntaviivat
Kokeiden menestyksestä huolimatta tutkijat kohtasivat vakavan ongelman: diffraktio säteessä pumppauksen aikana, joka voimistuu korkeamman asteen approksimaatioissa. Tämän ilmiön vähentäminen edellyttäisi ristikon syvyyden lisäämistä, mikä on rajoitettu optisen induktion menetelmällä. Mahdollisia ratkaisuja ovat diskreetit aaltoputkiritilät, jotka tarjoavat voimakkaamman rajoituksen, tai epälineaaristen ilmiöiden käyttö säteen lokalisoinnin ylläpitämiseksi.
Toinen tutkimussuunta on tämän kvasiperiodisen pumppauksen laajentaminen kaksiulotteisiin järjestelmiin, kuten muaro-tyyppisiin fotonihilaverkkoihin, joissa diffraktiota voidaan paremmin hallita. Tällaiset konfiguraatiot voivat paljastaa vielä monimutkaisempia ja luotettavampia siirtomekanismeja.
Optiikan ulkopuolella
Fibonaccin lukujonon kyky hallita valon etenemistä ei ole vain mielenkiintoinen löytö: se on todiste siitä, että luonnon matemaattisia lakeja voidaan käyttää hallitsemaan energian liikettä ennustettavalla ja vakaalla tavalla . Se, että väreissä ja galaksissa havaittu numeerinen säännönmukaisuus voi löytää sovelluksia valonohjaustekniikassa, havainnollistaa matematiikan ja kokeellisen fysiikan välistä syvää yhteyttä.
Kuten kirjoittajat päättelevät, strategia, jossa kvasiperiodinen järjestelmä approksimoidaan periodisilla sekvensseillä, ”mahdollistaa suhteellisen nopean siirtymisen keskimääräiseen pumppausnopeuteen, mikä vahvistaa sen topologisen alkuperän”. Toisin sanoen, valo noudattaa Fibonaccin sääntöjä jopa ympäristössä, joka rikkoo klassisia topologisen pumppauksen sääntöjä.
